Курсы в МГУ/Просеминар 2011/25.11.2011

А. И. Буфетов, «Бильярды в многоугольниках с рациональными углами»

Александр Игоревич рассказал о конструкции Землякова – Катка для многоугольных бильярдов с рациональными углами.

На многоугольном бильярдном столе рассмотрим точечный бильярдный шарик, который упруго отражается от стенок стола. Такая динамическая система называется бильярдом в многоугольнике.

Как устроена траектория шарика для бильярда в прямоугольнике? Вместо того, чтобы отражать шарик, ударившийся о стенку стола, отразим бильярдный стол относительно этой стенки; тогда шарик будет двигаться по прямой. Если рассмотреть образы бильярдного стола при всевозможных отражениях, они заполнят всю плоскость, а шарик будет двигаться по прямой на этой плоскости.

У такой конструкции есть недостаток: близкие положения шарика соответствуют очень далёким точкам плоскости. Чтобы избавиться от этого недостатка, отождествим те образы бильярдного стола, которые отличаются сдвигом. Плоскость превратится в тор, а траектория шарика намотается на этот тор.

Эта конструкция и называется конструкцией Землякова – Катка. Она применима для любого бильярда в многоугольнике с рациональными углами. Вместо тора в общем случае получается сфера с несколькими ручками. На этой поверхности есть дополнительная структура — плоская структура с несколькими коническими особенностями (особенности возникают из углов многоугольного стола). Например, для правильного пятиугольника получается плоская структура на кренделе с одной конической особенностью.