Dynamical Systems seminar is supported by RFBR project 16-01-00748-a and Laboratory Poncelet.

Доклад:4.10.2013

Материал из DSWiki
Перейти к: навигация, поиск

Нетипичность диффеоморфизмов окружности с лиувиллевыми числами вращения

04.10.2013, Наталия Гончарук

Доклад посвящен разбору статьи M.Tsujii «Rotation number and one-parameter families of circle diffeomorphisms».

Иррациональные числа бывают двух типов: лиувиллевы (хорошо приближаются рациональными числами) и диофантовы (плохо приближаются рациональными числами). Имея более строгое определение, легко доказать, что множество лиувиллевых чисел имеет меру 0.

Если рассмотреть семейство отображений [math]f+a[/math], то множество параметров [math]a[/math], для которых число вращения

  • рационально — является счетным набором отрезков. В этом случае [math]f+a[/math] имеет периодические орбиты.
  • диофантово — имеет положительную меру (Herman, 1977). В этом случае [math]f+a[/math] гладко сопряжен повороту.
  • лиувиллево — имеет нулевую меру (Tsujii,1991). В этом случае, как показал Арнольд, гладкого сопряжения с поворотом может не быть.

Доклад посвящен этому результату Tsujii. По ходу дела я расскажу, как связана орбита иррационального поворота с цепной дробью, и что такое искажение. Предварительных знаний не требуется.