Доклад:25.11.2011

О двух открытых проблемах в теории динамических систем

25.11.2011, В. Клепцын

Доклад будет посвящён двум открытым проблемам теории динамических систем: гипотезе Аносова о топологии слоёв типичного полиномиального векторного поля в <math>\C^2</math> и гипотезе Смейла-Шуба о классификации диффеоморфизмов Аносова.

Гипотеза Аносова утверждает, что у типичного полиномиального векторного поля в <math>\C^2</math> почти все слои односвязны — или, что то же самое, нет циклов с тождественным отображением Пуанкаре. (К примеру, гамильтоновых векторные поля в этом смысле, очевидно, нетипичны.) Для слоений, задаваемых аналитическими векторными полями, аналог гипотезы Аносова был доказан Таней Фирсовой с помощью техники возмущений и приближений. Я расскажу, как работают её рассуждение, и попробую предложить метод, как можно было бы доказывать исходную гипотезу Аносова.

Гипотеза Смейла-Шуба — гипотеза о классификации диффеоморфизмов Аносова: она утверждает, что все они, с точностью до топологического сопряжения, получаются некоторой алгебраической конструкцией. Даже её слабая форма — утверждение о невозможности диффеоморфизма Аносова на односвязных замкнутых многообразиях — до сих пор остаётся недоказанной. Я расскажу некоторые идеи, откуда можно было бы попробовать получить хотя бы эту ослабленную гипотезу (и, в частности, один — довольно "локальный" — результат Юры Кудряшова и мой в этом направлении).