Доклад:25.02.2011

Непродолжимость голономии слоений в <math>\C P^2</math>

25.02.2011, Наташа Гончарук

В докладе будет пересказана первая часть статьи «Singular sets of holonomy maps for algebraic foliations», G. Calsamiglia, B. Deroin, S. Frankel & A. Guillot.

Все необходимые определения будут даны на лекции.

Речь пойдет о слоениях комплексной проективной плоскости <math>\C P^2</math>. Векторное поле на вещественной плоскости задает разбиение плоскости на фазовые кривые. По теореме о выпрямлении векторного поля, в окрестности любой неособой точки векторного поля это разбиение устроено так же, как у постоянного векторного поля. Такое разбиение фазового пространства на кривые и называется слоением. В окрестности неподвижных точек векторного поля разбиение на фазовые кривые устроено сложнее, поэтому эти точки называются особенностями слоения.

Если теперь комплексифицировать и пространственные переменные, и время, то вещественная плоскость <math>\R^2</math> заменится пространством <math>\C^2</math>, а фазовые кривые превратятся в комплексно-одномерные (т.е. вещественно-двумерные) поверхности. Мы получим слоение с особенностями пространства <math>\C^2</math>. В случае полиномиального векторного поля можно продолжить слоение на бесконечно удаленную прямую и получить слоение пространства <math>\C P^2</math>.

Отображение голономии — это комплексный аналог отображения Пуанкаре. Даже на вещественной плоскости отображение Пуанкаре может не продолжаться в некоторые точки трансверсали. В ранее известных примерах после комплексификации у отображения голономии получалось не более чем счетное множество особенностей. F. Loray и Ю. С. Ильяшенко предполагали, что это верно для любого слоения <math>\C P^2</math>.

В докладе будет построен пример слоения <math>\C P^2</math>, для которого это неверно: отображение голономии продолжается внутрь некоторого диска, но не продолжается (даже по непрерывности) ни в одну точку его границы.