Dynamical Systems seminar is supported by RFBR project 10-01-00739-а and joint RFBR/CNRS project 10-01-93115-НЦНИЛ_а.

From DSWiki

Простейшее разрешение особенностей, так называемое элементарное раздутие (сигма-процесс, elementary blow-up) — это трансформация окрестности точки на двумерной поверхности, при котором вместо одной точки вклеивается проективная прямая. Для этого вместо координат (x,y) вводятся две карты (x,u = y / x) и (y,v = x / y). Если в окрестности задано аналитическое векторное поле с особой точкой, оно поднимается до аналитического поля направлений с одной или несколькими особыми точками на вклеенной проективной прямой. Особые точки раздутого поля оказываются «проще» исходной особой точки — за исключением элементарных особых точек, линеаризация векторного поля в которых имеет хотя бы одно ненулевое собственное значение. Теорема Бендиксона—Зайденберга утверждает, что за конечное число элементарных раздутий любая особая точка аналитического векторного поля рассыпается на некоторое число элементарных особых точек. В докладе обсуждается обобщение этой конструкции на семейства аналитических полей направлений, и доказывается аналог теремы Бендиксона—Зайденберга для семейств, удовлетворяющих естественным условиям на поведение особых точек. (В частности, теорема применима к любому семейству полиномиальных векторных полей на плоскости.) Структура особых точек в семействах полей направлений может включать в себя так называемые сингулярные возмущения. Предлагаемая конструкция разрешения особенностей порождает «новые» сингулярные возмущения. Это всерьёз осложняет анализ получающихся семейств, и мы обсудим этот феномен достаточно подробно.

Обсуждаемый результат опубликован в 1995 году.