Доклад:11.04.2011

Доклад посвящён теореме Баксендейла -- замечательному утверждению теории случайных динамических систем. Эта теорема утверждает, что для случайной динамики, порождаемой диффеоморфизмами на компактном многообразии (и удовлетворяющей минимальным предположениям, необходимым для существования показателей Ляпунова) выполняется следующая альтернатива:

• либо существует общая инвариантная мера для почти всех отображений,
• либо существует эргодическая стационарная мера, сумма показателей Ляпунова которой (т. е. показатель Ляпунова изменения объёма) строго отрицателен.

В частности, из этой теоремы следует экспоненциальность скорости сжатия для случайной динамики на окружности: поскольку многообразие одномерно, отрицательным оказывается единственный показатель Ляпунова.

Доказательство этой теоремы достаточно несложно в случае, когда можно гарантировать абсолютную непрерывность (любой) стационарной меры (с некоторыми оценками на плотность) -- в этом случае, результат следует из неравенства Йенсена для логарифма. А переход к общему случаю основан на возмущении "зашумляющей" свёрткой, и красивой энтропийной оценке.

Литература

• P. Baxendale, Lyapunov exponents and related entropy for stochastic flows of diffeomorphisms. Prob. Theory Related Fields 81 (1989), 521-554.
• B. Deroin, V. Kleptsyn, A. Navas, Sur la dynamique unidimensionelle et régularité intermédiaire, preprint IHES M/05/24, Acta Mathematica, 199 (2007), pp. 199--262.