Доклад:Об асимптотическом поведении решений одного репликаторного уравнения

From DSWiki

Об асимптотическом поведении решений одного репликаторного уравнения

Артем Новожилов («Прикладная математика — 1», МИИТ), совместно с Ф.Березовской (Howard University, USA) и Г.Каревым (NCBI/NIH, USA)

Рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

(*) $\frac{d p_i}{dt}=p_i\bigl(({\mathbf{Ap}})_i-{\mathbf{p}}^\tau\cdot {\mathbf{Ap}}\bigr),\quad i=1,\ldots,n$

Здесь ${\mathbf{p}}(t)=(p_1(t),\ldots,p_n(t))^\tau$ — неизвестная вектор-функция, ${\mathbf{A}}$ — действительная $n\times n$ матрица, $τ$ означает транспонирование, ${\mathbf{p}}^{\tau}\cdot{\mathbf{q}}$ — стандартное скалярное произведение, $({\mathbf{Ap}})_i$ — $i$ -ый элемент вектора ${\mathbf{Ap}}$ . Пространство состояний динамической системы (*) — симплекс $S_n=\{{\mathbf{p}}\colon {\mathbf{p}}\geq 0,\,\sum_{i=1}^np_i=1\}$ . Система ОДУ (*) часто называется репликаторным уравнением и возникает, например, в математической генетике, моделях химической эволюции и эволюционной теории игр.

В докладе планируется

Объяснить происхождение репликаторных уравнений (*) и привести краткий обзор известных результатов о поведении их решений.
Доказать следующую теорему:

Пусть элементы матрицы ${\mathbf{A}}$ имеют вид

$a_{ij}=a_ib_j-c_i,\quad i,j=1,\ldots,n,$

для трех заданный векторов ${\mathbf{a}}=(a_1\ldots,a_n)^\tau,\,{\mathbf{b}}=(b_1\ldots,b_n)^\tau,\,{\mathbf{c}}=(c_1\ldots,c_n)^\tau$ , где элементы этих векторов — рациональные неотрицательные числа, для которых выполнено

$a_i(c_j - c_k) + a_j(c_k - c_i) + a_k(c_i - c_j)\neq 0$

для любых различных $i,j,k=1,\ldots,n$ . Тогда для почти всех начальных условий решения системы (*) стремятся к глобальному аттрактору, который может быть либо вершиной симплекса ${\mathbf{e}}_i=(0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$ (единица на $i$ -м месте), либо положением равновесия на скелете симплекса (то есть таким положением равновесия, у которого ровно две ненулевых координаты).

Доклад:Об асимптотическом поведении решений одного репликаторного уравнения

From DSWiki

Views

Personal tools

Navigation

Events (research)

Занятия для студентов

Supplements

Site tools

Search

Toolbox