Просмотр кода страницы Доклад:25.02.2011

'''Непродолжимость голономии слоений в <math>\C P^2</math>

25.02.2011, ''Наташа Гончарук''



В докладе будет пересказана первая часть статьи «''Singular sets of holonomy maps for algebraic foliations''», G. Calsamiglia, B. Deroin, S. Frankel & A. Guillot.

Все необходимые определения будут даны на лекции.

Речь пойдет о слоениях комплексной проективной плоскости <math>\C P^2</math>. Векторное поле 
на вещественной плоскости задает разбиение плоскости на фазовые кривые. По 
теореме о выпрямлении векторного поля, в окрестности любой неособой точки 
векторного поля это разбиение устроено так же, как у постоянного векторного 
поля. Такое разбиение фазового пространства на кривые и называется слоением. В 
окрестности неподвижных точек векторного поля разбиение на фазовые кривые 
устроено сложнее, поэтому эти точки называются особенностями слоения.

Если теперь комплексифицировать и пространственные переменные, и время, то 
вещественная плоскость <math>\R^2</math>  заменится пространством <math>\C^2</math>, а фазовые кривые 
превратятся в комплексно-одномерные (т.е. вещественно-двумерные) поверхности. 
Мы получим слоение с особенностями пространства <math>\C^2</math>. В случае полиномиального 
векторного поля можно продолжить слоение на бесконечно удаленную прямую и 
получить слоение пространства <math>\C P^2</math>.

Отображение голономии — это комплексный аналог отображения Пуанкаре. Даже на 
вещественной плоскости отображение Пуанкаре может не продолжаться в некоторые 
точки трансверсали. В ранее известных примерах после комплексификации у 
отображения голономии получалось не более чем счетное множество особенностей. 
F. Loray и Ю. С. Ильяшенко предполагали, что это верно для любого слоения 
<math>\C P^2</math>.

В докладе будет построен пример слоения <math>\C P^2</math>, для которого это неверно: 
отображение голономии продолжается внутрь некоторого диска, но не продолжается 
(даже по непрерывности) ни в одну точку его границы.