Dynamical Systems seminar is supported by RFBR project 20-01-00420-a and Laboratory Poncelet.

Доклад:3.9.2010: различия между версиями

Материал из DSWiki
Перейти к навигацииПерейти к поиску
(начало...)
 
(TODO: wikify. :))
Строка 1: Строка 1:
Я расскажу об одном замечательном сюжете, который узнал из курса Ландо в [http://www.mccme.ru/dubna/2009/program.htm Дубне-2009] -- о числах Гурвица.
Я расскажу об одном замечательном сюжете, который узнал из курсов Ландо, Бурмана и Казаряна в [http://www.mccme.ru/dubna/ Дубне] -- о числах Гурвица.


Мы начнём с трёх вопросов:
Мы начнём с трёх вопросов:
Строка 6: Строка 6:
# Сколько существует (нормированных) полиномов степени n с данными (n-1) критическими значениями?
# Сколько существует (нормированных) полиномов степени n с данными (n-1) критическими значениями?


Оказывается, что все эти три вопроса это на самом деле один и тот же вопрос; ответ на него можно найти как чисто комбинаторными методами (теорема Кэли и Matrix-Tree formula, решающие вопрос о подсчёте деревьев), так и применяя многомерную теорему Безу для подсчёта числа многочленов.
Оказывается, что все эти три вопроса это на самом деле один и тот же вопрос; ответ на него можно найти как чисто комбинаторными методами (теорема Кэли и Matrix-Tree formula, решающие вопрос о подсчёте деревьев), так и применяя многомерную теорему Безу для подсчёта числа многочленов. И связь между ними проходит через перечисление топологических разветвлённых накрытий сферы собой с циклическим ветвлением в "бесконечности".
 
Можно также исследовать общий вопрос о подсчёте числа способов разложить заданную подстановку в произведение заданного числа транспозиций; этому соответствует случай накрывающей поверхности большего рода и выбор другой подстановки над "бесконечностью". Соответствующая производящая функция оказывается удовлетворяющей некоторому уравнению в частных производных (cut and join), а решение выписывается через полиномы Шура -- "производящие функции" характеров неприводимых представлений симметрической группы.
 
Несмотря на обилие "страшных слов" в анонсе выше, я надеюсь, что доклад будет понятен начинающим, -- и постараюсь показать, как в этом сюжете играют совершенно различные области математики, от комплексного анализа до теории представлений.
 
Приглашаются все желающие!

Версия от 16:33, 30 августа 2010

Я расскажу об одном замечательном сюжете, который узнал из курсов Ландо, Бурмана и Казаряна в Дубне -- о числах Гурвица.

Мы начнём с трёх вопросов:

  1. Сколько существует различных деревьев на n пронумерованных вершинах?
  2. Сколькими способами можно разложить цикл (12...n) в произведение (n-1) транспозиции?
  3. Сколько существует (нормированных) полиномов степени n с данными (n-1) критическими значениями?

Оказывается, что все эти три вопроса это на самом деле один и тот же вопрос; ответ на него можно найти как чисто комбинаторными методами (теорема Кэли и Matrix-Tree formula, решающие вопрос о подсчёте деревьев), так и применяя многомерную теорему Безу для подсчёта числа многочленов. И связь между ними проходит через перечисление топологических разветвлённых накрытий сферы собой с циклическим ветвлением в "бесконечности".

Можно также исследовать общий вопрос о подсчёте числа способов разложить заданную подстановку в произведение заданного числа транспозиций; этому соответствует случай накрывающей поверхности большего рода и выбор другой подстановки над "бесконечностью". Соответствующая производящая функция оказывается удовлетворяющей некоторому уравнению в частных производных (cut and join), а решение выписывается через полиномы Шура -- "производящие функции" характеров неприводимых представлений симметрической группы.

Несмотря на обилие "страшных слов" в анонсе выше, я надеюсь, что доклад будет понятен начинающим, -- и постараюсь показать, как в этом сюжете играют совершенно различные области математики, от комплексного анализа до теории представлений.

Приглашаются все желающие!