Доклад:11.11.2011

Гипотеза В. Иврия утверждает, что для всякого бильярда в евклидовом пространстве с кусочно-гладкой границей множество периодических орбит имеет меру нуль. Другой вариант гипотезы Иврия утверждает, что множество периодических орбит имеет пустую внутренность. Для четырехугольных орбит положительный ответ был доказан в совместной работе с Юрой Кудряшовым. В докладе мы поговорим о комплексифицированной алгебраической гипотезе Иврия для четырёхугольных орбит в размерности 2, где отражения происходят относительно комплексных алгебраических кривых. Я расскажу о совсем свежих результатах.

Вообще говоря, комплексная алгебраическая гипотеза Иврия не верна. Оказывается, что кроме (почти) очевидных контрпримеров, имеется нетривиальный пример связанный с парой конфокальных эллипсов. Более точно, имеется открытое множество вещественных четырёхугольных орбит, поочередно отражающихся от двух эллипсов: от большего — вовнутрь, а от меньшего — с перепрыгиванием через него. Единственное известное мне доказательство, о котором будет рассказано, использует основы алгебраической геометрии.

Интересно было бы узнать, бывают ли другие примеры, кроме вышеперечисленных и их простых обобщений. Если время позволит, я расскажу о частичных результатах в этом направлении.