Доклад:11.03.2011

Поля плоскостей и магические бильярды

11.03.2011, Ю. Кудряшов

Доклад основан на совместной работе с Лёшей Глуцюком.

В 1980 году В. Иврий предположил, что для любого бильярда с бесконечно гладкой границей множество периодических траекторий имеет меру нуль. Эта гипотеза до сих пор не доказана. В докладе будет объяснено, как свести гипотезу Иврия к случаю бильярда с кусочно-аналитической границей.

В доказательстве используется техника интегрирования полей плоскостей. Рассмотрим поле плоскостей размерности <math>d</math> (то есть в каждой точке пространства выбрана <math>d</math>-мерная плоскость). Теорема Фробениуса позволяет ответить на вопрос, существуют ли <math>d</math>-мерные поверхности, всюду касающиеся нашего поля плоскостей. Применяя похожие рассуждения (см. П. К. Рашевский, «Геометрическая теория уравнений с частными производными»), можно выяснить, существует ли <math>m</math>-мерная интегральная поверхность и при <math>m<d</math>.

В докладе будут рассказаны эти рассуждения и показана связь этой теории с гипотезой Иврия.