Минимальность

Динамическая система называется минимальной, если у неё нет нетривиальных (замкнутых) подсистем.

Определения

Динамическая система <math>(X,T)</math> называется минимальной, если для любого замкнутого

<math>A\subset X, \quad T(A)=A</math>,

либо <math>A</math> пусто, либо совпадает со всем <math>X</math>.

Поскольку замыкание любой орбиты является инвариантным множеством, то определение можно эквивалентно переформулировать следующим образом: «динамическая система минимальна, если любая её орбита всюду плотна».

Свойства

• Минимальная система либо состоит из одной орбиты, либо не имеет ни неподвижных точек, ни периодических орбит.
• Минимальный диффеоморфизм окружности эргодичен (теорема Катка—Эрмана).

Примеры

• Иррациональный поворот окружности минимален.
• Сдвиг на постоянный вектор на торе <math>\mathbb{T}^n=\R^n/\Z^n</math> минимален тогда и только тогда, когда координаты вектора сдвига и единица линейно независимы над <math>\Q</math>.
• Диффеоморфизм окружности минимален тогда и только тогда, когда он сопряжён иррациональному повороту.
• Одометр <math>(\Z_p, +1)</math> — минимален.
• Существует сохраняющий меру Лебега диффеоморфизм двумерного тора, который минимален, но не эргодичен (пример Фюрстенберга).

Литература

• Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1