Удвоение окружности - История изменений

Ilya Schurov: 4 версии

2012-10-24T23:02:07Z

4 версии

← Предыдущая версия	Версия от 15:02, 24 октября 2012
(нет различий)

Victor Kleptsyn: /* Свойства */

2012-10-23T20:26:39Z

Свойства

← Предыдущая версия		Версия от 12:26, 23 октября 2012
Строка 4:		Строка 4:
	* Отображение удвоения — необратимое, и является накрытием степени 2.		* Отображение удвоения — необратимое, и является накрытием степени 2.
	* Отображение удвоения является [[растягивающее отображение\|растягивающим]].		* Отображение удвоения является [[растягивающее отображение\|растягивающим]].
	* Любое растягивающее отображение степени 2 на окружности [[Топологическая сопряжённость\|сопряжено]] отображению удвоения. Сопрягающее отображение при этом [[гёльдерово отображение\|гёльдерово]], но, вообще говоря, не гладкое.		* Любое растягивающее отображение степени 2 на окружности [[Топологическая сопряжённость\|сопряжено]] отображению удвоения. Сопрягающее отображение при этом [[w:гёльдерово отображение\|гёльдерово]], но, вообще говоря, не гладкое.
	* Как следствие предыдущего пункта, отображение удвоения [[структурная устойчивость\|структурно устойчиво]].		* Как следствие предыдущего пункта, отображение удвоения [[структурная устойчивость\|структурно устойчиво]].
	* Любая динамическая система на окружности, задающаяся сохраняющим ориентацию двулистным [[w:накрытие\|накрытием]], полусопряжена отображению удвоения.		* Любая динамическая система на окружности, задающаяся сохраняющим ориентацию двулистным [[w:накрытие\|накрытием]], полусопряжена отображению удвоения.

Victor Kleptsyn: /* Литература */ +refs.

2012-07-27T07:32:27Z

Литература: +refs.

← Предыдущая версия		Версия от 23:32, 26 июля 2012
Строка 16:		Строка 16:

	== Литература ==		== Литература ==
			<references/>
	* ''А. Б. Каток, Б. Хасселблат.'' Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 83-89. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9		* ''А. Б. Каток, Б. Хасселблат.'' Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 83-89. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9

	[[Category: Энциклопедия]]		[[Category: Энциклопедия]]

Victor Kleptsyn: /* Свойства */

2012-07-27T07:32:08Z

Свойства

← Предыдущая версия		Версия от 23:32, 26 июля 2012
Строка 4:		Строка 4:
	* Отображение удвоения — необратимое, и является накрытием степени 2.		* Отображение удвоения — необратимое, и является накрытием степени 2.
	* Отображение удвоения является [[растягивающее отображение\|растягивающим]].		* Отображение удвоения является [[растягивающее отображение\|растягивающим]].
	* Любое растягивающее отображение степени 2 на окружности [[Топологическая сопряжённость\|сопряжено]] отображению удвоения. Сопрягающее отображение при этом гёльдерово, но, вообще говоря, не гладкое.		* Любое растягивающее отображение степени 2 на окружности [[Топологическая сопряжённость\|сопряжено]] отображению удвоения. Сопрягающее отображение при этом [[гёльдерово отображение\|гёльдерово]], но, вообще говоря, не гладкое.
	* Как следствие предыдущего пункта, отображение удвоения [[структурная устойчивость\|структурно устойчиво]].		* Как следствие предыдущего пункта, отображение удвоения [[структурная устойчивость\|структурно устойчиво]].
	* Любая динамическая система на окружности, задающаяся сохраняющим ориентацию двулистным [[накрытие]]м, полусопряжена отображению удвоения.		* Любая динамическая система на окружности, задающаяся сохраняющим ориентацию двулистным [[w:накрытие\|накрытием]], полусопряжена отображению удвоения.
	* Представление окружности как отрезка [0,1] превращает отображение удвоения в отображение '''зуб пилы''': <math>f(x)=\{2x\}</math>, где <math>\{\cdot\}</math> — дробная часть.		* Представление окружности как отрезка [0,1] превращает отображение удвоения в отображение '''зуб пилы''': <math>f(x)=\{2x\}</math>, где <math>\{\cdot\}</math> — дробная часть.
	* Переход к двоичной записи, являющейся отображением судьбы для разбиения <math>S^1=[0,1/2[ \cup [1/2,1[</math>, сопрягает отображение удвоения со [[сдвиг Бернулли\|сдвигом Бернулли]], при этом [[мера Лебега\|мере Лебега]] соответствует [[мера Бернулли]] с весами (1/2,1/2).		* Переход к двоичной записи, являющейся отображением судьбы для разбиения <math>S^1=[0,1/2[ \cup [1/2,1[</math>, сопрягает отображение удвоения со [[сдвиг Бернулли\|сдвигом Бернулли]], при этом [[w:мера Лебега\|мере Лебега]] соответствует [[мера Бернулли]] с весами (1/2,1/2).
	* [[~~Энтропия~~]] отображения удвоения равна логарифму двух.		* [[Топологическая энтропия]] отображения удвоения равна логарифму двух.

	~~<!-- TODO:~~ Гипотеза Фюрстенберга утверждает, что общими эргодическими инвариантными мерами отображений		== Гипотеза Фюрстенберга ==
	удвоения и утроения окружности могут быть только мера Лебега и меры, сосредоточенные на конечных орбитах. На текущий момент доказано, что относительно любой эргодичной общей инвариантной меры, отличной от меры Лебега, отображения удвоения и утроения обратимы почти всюду.		[[Гипотеза Фюрстенберга об общих инвариантых мерах\|Гипотеза Фюрстенберга]] утверждает, что общими эргодическими инвариантными мерами отображений
	~~Найти источник, и можно снимать комментирование. -->~~		удвоения и утроения окружности могут быть только мера Лебега и меры, сосредоточенные на конечных орбитах.<ref>http://www.math.u-psud.fr/~benoist/prepubli/12takagi.pdf</ref> На текущий момент доказано только, что относительно любой эргодичной общей инвариантной меры, отличной от меры Лебега, отображения удвоения и утроения обратимы почти всюду.

	== Литература ==		== Литература ==

Victor Kleptsyn: перенёс

2012-07-14T09:00:39Z

перенёс

Новая страница

'''Отображение удвоения окружности''' — отображение <math>x\mapsto 2x \mod 1</math> окружности <math>S^1=\R/\Z</math> в себя, являющееся одним из базовых примеров отображений с хаотической динамикой.

== Свойства ==
* Отображение удвоения — необратимое, и является накрытием степени 2.
* Отображение удвоения является [[растягивающее отображение|растягивающим]].
* Любое растягивающее отображение степени 2 на окружности [[Топологическая сопряжённость|сопряжено]] отображению удвоения. Сопрягающее отображение при этом гёльдерово, но, вообще говоря, не гладкое.
* Как следствие предыдущего пункта, отображение удвоения [[структурная устойчивость|структурно устойчиво]].
* Любая динамическая система на окружности, задающаяся сохраняющим ориентацию двулистным [[накрытие]]м, полусопряжена отображению удвоения.
* Представление окружности как отрезка [0,1] превращает отображение удвоения в отображение '''зуб пилы''': <math>f(x)=\{2x\}</math>, где <math>\{\cdot\}</math> — дробная часть.
* Переход к двоичной записи, являющейся отображением судьбы для разбиения <math>S^1=[0,1/2[ \cup [1/2,1[</math>, сопрягает отображение удвоения со [[сдвиг Бернулли|сдвигом Бернулли]], при этом [[мера Лебега|мере Лебега]] соответствует [[мера Бернулли]] с весами (1/2,1/2).
* [[Энтропия]] отображения удвоения равна логарифму двух.



== Литература ==

* ''А. Б. Каток, Б. Хасселблат.'' Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 83-89. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9

[[Category: Энциклопедия]]