Ilya Schurov: 1 версия

2012-10-24T23:10:23Z

1 версия

← Предыдущая версия	Версия от 15:10, 24 октября 2012
(нет различий)

Victor Kleptsyn: Создал

2012-07-12T14:53:59Z

Создал

Новая страница

'''Теорема Адамара — Перрона''' утверждает, что в достаточно малой окрестности гиперболической неподвижной точки существуют гладкие сепаратриссы, касающиеся в этой точке устойчивого и неустойчивого подпространств соответственно.

== Доказательство ==

Доказательство теоремы обычно проводится с помощью [[метода преобразования графиков|метода преобразования графиков]]. В достаточно малой окрестности особой точки, замена координат приводит отображение к виду
:<math>
F:\left({x \atop y}\right) \mapsto \left({\Lambda x +\dots \atop M y +\dots}\right),
</math>
где все собственные значения матрицы <math>\Lambda</math> меньше единицы, а матрицы <math>M</math> — больше.

Идея метода преобразования графиков состоит в том, чтобы рассмотреть действие <math>F</math> на графиках функций <math>y=\varphi(x)</math>, определённых в (фиксированной) малой окрестности начала координат. Оказывается, что на множестве липшицевых графиков с достаточно малой константой Липшица это отображение действительно корректно определено (образом графика будет именно график, и не произойдёт потери однозначности — "опрокидывания"); кроме того, такое отображение оказывается (в силу сжатия отображением <math>F</math> по оси <math>y</math>) сжимающим. Отсюда будет следовать существование графика, являющегося неподвижной точкой такого преобразования — этот график и является неустойчивым многообразием неподвижной точки. Далее, показывая, что преобразование графиков задаёт и сжимающее в норме <math>C^1, C^2, \dots</math> отображение, получаем, что искомое многообразие является также <math>C^1, C^2, \dots</math>-гладким.

== См. также ==
* [[Теорема Гробмана — Хартмана]]

== Литература ==
* А. Каток, Б. Хассельблат, Введение в современную теорию динамических систем, Факториал, 1999. — <math>\S 6.2</math>

[[Category:Энциклопедия]]

Теорема Адамара — Перрона - История изменений

Ilya Schurov: 1 версия

Victor Kleptsyn: Создал