Ilya Schurov: 1 версия

2012-10-24T23:02:40Z

1 версия

← Предыдущая версия	Версия от 16:02, 24 октября 2012
(нет различий)

Victor Kleptsyn: перенёс

2012-07-13T09:54:43Z

перенёс

Новая страница

В [[теория динамических систем|теории динамических систем]], '''седлоузловая бифуркация''' — локальная [[теория бифуркаций|бифуркация]], при которой пара [[особая точка (дифференциальные уравнения)|особых точек]] ([[устойчивость (динамические системы)|устойчивая и неустойчивая]]) сливаются в полуустойчивую особую точку (седлоузел), затем исчезающую. Единственная бифуркация, которая встречается в типичных однопараметрических семействах [[векторное поле|векторных полей]] на прямой неустранимым образом (т.е. является типичной бифуркацией [[коразмерность|коразмерности 1]]).

== Нормальная форма ==

Рассмотрим [[векторное поле]] на прямой, имеющее особую точку. Если особая точка [[гиперболическая особая точка|невырождена]] ([[производная функции|производная]] векторного поля в ней отлична от 0), по [[теорема о неявной функции|теореме о неявной функции]], она сохраняется при малых возмущениях, и бифуркации не происходит. Таким образом, простейший случай, интересный с точки зрения теории бифуркаций: первая производная равна нулю. В типичном случае, вторая производная ненулевая. Раскладывая векторное поле в [[ряд Тейлора]] и меняя при необходимости систему координат, можно считать, что коэффициент при <math>x^2</math> равен -1. В этом случае векторное поле имеет вид:

:<math>\dot x=-x^2+o(x^2).\quad\quad(1)</math>

Поскольку особая точка вырождена, векторное поле (1) не является [[структурная устойчивость|структурно устойчивым]]: сколь угодно малым возмущением можно уничтожить особую точку или «развалить» её на две. Оказывается, любое невырожденное малое возмущение этого векторного поля в окрестности особой точки 0 (топологически) эквивалентно однопараметрическому семейству

:<math>\dot x=\varepsilon-x^2\quad\quad(2)</math>

Иными словами, это семейство будет [[версальная деформация|версальной деформацией]] для уравнения (1). Семейство (2) является [[нормальная форма (математика)|нормальной формой]] седлоузловой бифуркации.

== Сценарий бифуркации ==
Рассмотрим семейство (2). Возможно три случая:
* При <math>\varepsilon>0</math> векторное поле имеет две особые точки: <math>x=\pm\sqrt{\varepsilon}</math>. Одна из них (<math>x=+\sqrt{\varepsilon}</math>) является устойчивой, другая (<math>x=-\sqrt{\varepsilon}</math>) — неустойчивой.
* При <math>\varepsilon=0</math> векторное поле имеет единственную полуустойчивую негиперболическую особую точку 0.
* При <math>\varepsilon<0</math> векторное поле не имеет особых точек.

Таким образом, седлоузловая бифуркация может быть описана как процесс рождения полуустойчивой особой точки и последующего её распадения на устойчивую и неустойчивую, или наоборот — как процесс слияния устойчивой и неустойчивой особой точки в полуустойчивую с последующим её исчезновением.


Если рассматривать двумерное [[фазовое пространство]] и к уравнению (2) добавить уравнение <math>\dot y=-y</math>, при <math>\varepsilon>0</math>, особая точка <math>(\sqrt{\varepsilon},0)</math> будет [[узел (дифференциальные уравнения)|устойчивым узлом]], а особая точка <math>(-\sqrt{\varepsilon},0)</math> — [[седло (дифференциальные уравнения)|седлом]]. Сливаясь при <math>\varepsilon=0</math>, они образуют особую точку с одним нулевым и одним ненулевым [[собственное значение|собственным значением]], то есть [[седлоузел]]. Это и объясняет название бифуркации.

== Литература ==
* ''Д. Ван, Ч. Ли, Ш.-Н. Чоу.'' Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. — М.: МЦНМО, 2005. — 416 с. — ISBN 5-94057-206-5

[[Category:Энциклопедия]]

Седлоузловая бифуркация - История изменений

Ilya Schurov: 1 версия

Victor Kleptsyn: перенёс