Ilya Schurov: 1 версия

2012-10-24T23:02:37Z

1 версия

← Предыдущая версия	Версия от 16:02, 24 октября 2012
(нет различий)

Victor Kleptsyn: перенёс

2012-07-08T12:39:53Z

перенёс

Новая страница

'''Пример Фюрстенберга''' — пример гладкой динамической системы на двумерном торе, которая [[минимальное множество|минимальна]], но не [[эргодичность|эргодична]] относительно меры Лебега.

== Исторический контекст ==

Известная гипотеза, сформулированная в районе 80х годов многими авторами, утверждает, что для действия на окружности конечно-порождённой группы <math>C^2</math>—диффеоморфизмов, из минимальности (то есть отсутствия нетривиальных инвариантных замкнутых подмножеств) следует эргодичность (то есть отсутствие нетривиальных инвариантных измеримых подмножеств). Для случая одного диффеоморфизма окружности эта гипотеза была доказана одновременно Катком  и Эрманом, для случая «неограниченно локально растягивающих» действий Салливаном.

Пример Фюрстенберга показывает, что утверждение этой гипотезы не может быть обобщено на случай двумерного фазового пространства, даже для случая одного диффеоморфизма.

== Конструкция ==

Пример Фюрстенберга строится в классе [[косое произведение|косых произведений]]: он имеет вид
:<math>F: \R^2/\Z^2 \to \R^2/\Z^2, \qquad (x,y) \mapsto (x+\alpha, y+ \varphi(x)) \qquad (*)</math>
где угол <math>\alpha</math> иррационален.

Для системы вида (*) условие на то, что отображение <math>H: (x,y)\mapsto (x, y-h(x))</math> сопрягает её с «постоянным сдвигом» <math>(x,y)\mapsto (x+\alpha,y+\beta)</math> — это [[гомологическое уравнение]]
:<math>\varphi(x)-\beta=h(x+\alpha)-h(x) \qquad (**)</math>
Необходимым условием его разрешимости является равенство <math>\beta=\int_0^1 \varphi(x) \, dx</math>.

Рассмотрим функцию <math>\varphi(x)</math> с нулевым интегралом. Тогда, для неэргодичности отображения <math>F</math> достаточно его ''измеримого'' сопряжения с с «горизонтальным поворотом» <math>(x,y)\mapsto (x+\alpha,y)</math> (поскольку последний сохраняет все горизонтальные окружности и потому, очевидно, неэргодичен). С другой стороны, наличие измеримого, но не непрерывного, решения гомологического уравнения ещё не влечёт нарушения минимальности. Более того, оказывается (см. ниже), что отображение <math>F</math> минимально тогда и только тогда, когда у уравнения (**) нет непрерывных решений. Поэтому, достаточно построить пример функции <math>\varphi</math> и угла <math>\alpha</math>, для которых уравнение (**) будет иметь лишь измеримое, но не непрерывное решение.

Но коэффициенты Фурье функции h ищутся из (**) явно:
<math>c_k(h)= \frac{c_k(\varphi)}{e^{2\pi ik\alpha}-1}.</math>
Поэтому решение <math>h</math> единственно, и задачу построения можно решать в другую сторону: найти измеримую, но не непрерывную функцию <math>h</math> и иррациональный угол <math>\alpha</math>, такие, что функция <math>\varphi</math> с коэффициентами Фурье
<math>c_k(\varphi)= (e^{2\pi ik\alpha}-1)\cdot c_k(h)</math>
была бы бесконечно гладкой.

Для этого, можно выбрать угол <math>\alpha</math> достаточно хорошо приближающийся рациональными, и последовательно выбрать коэффициенты Фурье функции <math>h</math> на местах k, соответствующих хорошим приближениям <math>\alpha</math>, разрушив непрерывность h, но сохранив гладкость <math>\varphi</math>.

=== Доказательство минимальности ===

Пусть <math>X\subset \mathbb{T}^2=\R^2/\Z^2</math> — минимальное множество косого произведения <math>F</math>, заданного (*). Тогда, с одной стороны, <math>X</math> (в силу минимальности иррационального поворота) должен проецироваться при проекции <math>(x,y)\mapsto x</math> на всю окружность.

С другой стороны, отображение <math>F</math> коммутирует с «вертикальными сдвигами» <math>T_b:(x,y)\mapsto (x,y+b)</math>. Поэтому все множества <math>X_b:=T_b(X)</math> также являются минимальными. Наконец, два минимальных множества либо не пересекаются, либо совпадают. Поэтому группа «вертикальных самосовмещений» множества <math>X</math>
<math>G:=\{b\in \R/\Z \mid T_b(X)=X\} = \{b\in \R/\Z \mid X_b \cap X \neq \emptyset \}</math>
является замкнутой подгруппой окружности, и совпадает с группой самосовмещений пересечения <math>X</math> с любой «вертикальной» окружностью <math>\{x=x_0\}</math>.

Поскольку <math>G</math> — замкнутая подгруппа окружности, она может состоять:
* либо только из нуля,
* либо из конечного числа <math>k>1</math> элементов, — в этом случае <math>G=\{0, 1/k, \dots, (k-1)/k \}</math>,
* либо совпадать со всей окружностью.

Поскольку группа <math>G</math> является также группой самосовмещений любого «вертикального сечения» <math>X\cap \{x=x_0\}</math>, а проекция <math>X</math> на ось <math>x</math> это вся окружность, в первом случае <math>X</math> это график некоторой непрерывной функции <math>h: S^1\to S^1</math>. Но график непрерывной функции инвариантен тогда и только тогда, когда соответствующее ей отображение <math>H:(x,y)\mapsto (x,y-h(x))</math> сопрягает систему с горизонтальным сдвигом! В частности — в отсутствие такого сопряжения первый случай невозможен.

Из аналогичных соображений несложно увидеть, что второй случай соответствует инвариантному многозначному (определённому с точностью до <math>1/k</math>) графику, откуда из минимальности будет следовать, что «вектор сдвига» имеет ненулевой наклон (с тангенсом вида <math>p/k, \, p\neq 0</math>), поэтому среднее значение <math>\varphi</math> на окружности не равно нулю.

Наконец, последний вариант означает, что X совпадает со всем тором (ибо его пересечение с любой вертикальной окружностью непусто и самосовмещается любым поворотом) — тем самым, отображение F минимально.



== Литература ==

* H. Furstenberg. Strict ergodicity and transformations of the torus. ''Amer. J. Math.'' '''83''' (1961), p. 573—601
* A. Katok, B. Hasselblatt, Handbook of dynamical systems, v.1, p. 172, [http://books.google.com/books?id=zq63l_16qJUC&pg=PA172&lpg=PA172&dq=Minimal+nonergodic+torus&source=bl&ots=9sL8UPlVsk&sig=uO2vH98xLF7Ve_d6xq5IWSRZNb0&hl=en&ei=dL2GSvOfKJDA-Qao54S7CQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=7#v=onepage&q=Minimal%20nonergodic%20torus&f=false Corollary 7.5.4].

[[Category:Энциклопедия]]

Пример Фюрстенберга - История изменений

Ilya Schurov: 1 версия

Victor Kleptsyn: перенёс