Курсы в МГУ/Просеминар 2014/26.09.2014/task - История изменений

Nataliya Goncharuk: /* Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" (ЧЕРНОВИК) */

2014-10-27T16:04:43Z

Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" (ЧЕРНОВИК)

← Предыдущая версия		Версия от 09:04, 27 октября 2014
Строка 14:		Строка 14:
	Отображение <math>T</math> называется '''подковой Смейла'''. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.		Отображение <math>T</math> называется '''подковой Смейла'''. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.

	== Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" ~~(ЧЕРНОВИК)~~ ==		== Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" ==

	1. Есть круг радиуса 1 с центром в нуле, и есть правильный треугольник со стороной 1, у которого		1. Есть круг радиуса 1 с центром в нуле, и есть правильный треугольник со стороной 1, у которого
	одна из вершин в нуле. Найдите их сумму.		одна из вершин в нуле. Найдите их сумму.

	2. а) Докажите, что для достаточно малых a и b сумма <math>K_a + K_b</math> ~~содержит интервал~~.		2. а) Докажите, что для достаточно малых a и b сумма <math>K_a + K_b</math> является интервалом.

	б) Докажите, что для a и b, достаточно близких к 1, сумма <math>K_a + K_b</math> не содержит интервала.		б) Докажите, что для a и b, достаточно близких к 1, сумма <math>K_a + K_b</math> не содержит интервала.

Nataliya Goncharuk: /* Определения к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" */

2014-10-20T09:41:47Z

Определения к лекции 3 "Суммы канторовских множеств"

← Предыдущая версия		Версия от 02:41, 20 октября 2014
Строка 4:		Строка 4:
	\in B\}.</math>		\in B\}.</math>

	'''Канторовское множество K_a, 0<a<1. '''		'''Канторовское множество <math>K_a, 0<a<1. </math>'''

	Возьмем отрезок длины 1 и выкинем из него подинтервал длины a, расположенный по центру. Останутся два отрезка длины (1-a)/2. Из каждого выкинем a-тую часть, то есть интервал длины a(1-a)/2, расположенный по центру. Продолжаем процесс. Множество, которое останется, называется канторовским множеством K_a. В частности, K_{1/3} --- это обычное канторовское множество.		Возьмем отрезок длины 1 и выкинем из него подинтервал длины a, расположенный по центру. Останутся два отрезка длины <math>(1-a)/2</math>. Из каждого выкинем a-тую часть, то есть интервал длины <math>a(1-a)/2</math>, расположенный по центру. Продолжаем процесс. Множество, которое останется, называется канторовским множеством <math>K_a</math>. В частности, <math>K_{1/3}</math> --- это обычное канторовское множество.

	'''Подкова Смейла'''		'''Подкова Смейла'''
Строка 13:		Строка 13:
	и <math> D_1 = \{0<x<1, 0.6<y<0.8\} </math>. Пусть отображение <math>T</math> на первом из них задано формулой <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-1)</math>, а на втором -- <math>(x,y) \mapsto ((x+3)/5, 5y-3)</math>. На рисунке (слева вверху страницы) изображены прямоугольники <math>D_0, D_1</math> и их образы.		и <math> D_1 = \{0<x<1, 0.6<y<0.8\} </math>. Пусть отображение <math>T</math> на первом из них задано формулой <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-1)</math>, а на втором -- <math>(x,y) \mapsto ((x+3)/5, 5y-3)</math>. На рисунке (слева вверху страницы) изображены прямоугольники <math>D_0, D_1</math> и их образы.
	Отображение <math>T</math> называется '''подковой Смейла'''. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.		Отображение <math>T</math> называется '''подковой Смейла'''. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.



	== Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" (ЧЕРНОВИК) ==		== Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" (ЧЕРНОВИК) ==

Nataliya Goncharuk: /* Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" (ЧЕРНОВИК) */ math

2014-10-20T09:39:15Z

Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" (ЧЕРНОВИК): math

← Предыдущая версия		Версия от 02:39, 20 октября 2014
Строка 21:		Строка 21:
	одна из вершин в нуле. Найдите их сумму.		одна из вершин в нуле. Найдите их сумму.

	2. а) Докажите, что для достаточно малых a и b сумма K_a + K_b содержит интервал.		2. а) Докажите, что для достаточно малых a и b сумма <math>K_a + K_b</math> содержит интервал.

	б) Докажите, что для a и b, достаточно близких к 1, сумма K_a + K_b не содержит интервала.		б) Докажите, что для a и b, достаточно близких к 1, сумма <math>K_a + K_b</math> не содержит интервала.

	3. Рассмотрим подкову Смейла. Запишем координаты (x,y) точки квадрата в пятеричной системе счисления. Докажите, что отображение подковы <math>T</math> действует так:		3. Рассмотрим подкову Смейла. Запишем координаты <math>(x,y)</math> точки квадрата в пятеричной системе счисления. Докажите, что отображение подковы <math>T</math> действует так:
	<math>		<math>
	(0.a_1a_2a_3\dots ; 0.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0.b_1a_1a_2a_3\dots; 0.b_2b_3\dots),		(0.a_1a_2a_3\dots ; 0.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0.b_1a_1a_2a_3\dots; 0.b_2b_3\dots),
	</math>		</math>
	то есть перекидывает первую цифру в записи y на первое место в записи x.		то есть перекидывает первую цифру в записи y на первое место в записи x.

Nataliya Goncharuk: стилистическое

2014-10-20T09:26:38Z

стилистическое

← Предыдущая версия		Версия от 02:26, 20 октября 2014
Строка 25:		Строка 25:
	б) Докажите, что для a и b, достаточно близких к 1, сумма K_a + K_b не содержит интервала.		б) Докажите, что для a и b, достаточно близких к 1, сумма K_a + K_b не содержит интервала.

	3. Запишем координаты (x,y) точки ~~подковы~~ в пятеричной системе счисления. Докажите, что отображение <math>T</math> действует так:		3. Рассмотрим подкову Смейла. Запишем координаты (x,y) точки квадрата в пятеричной системе счисления. Докажите, что отображение подковы <math>T</math> действует так:
	<math>		<math>
	(0.a_1a_2a_3\dots ; 0.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0.b_1a_1a_2a_3\dots; 0.b_2b_3\dots),		(0.a_1a_2a_3\dots ; 0.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0.b_1a_1a_2a_3\dots; 0.b_2b_3\dots),
	</math>		</math>

	то есть перекидывает первую цифру в записи y на первое место в записи x.		то есть перекидывает первую цифру в записи y на первое место в записи x.

Nataliya Goncharuk: теперь почти числовик

2014-10-20T05:44:31Z

теперь почти числовик

← Предыдущая версия		Версия от 22:44, 19 октября 2014
Строка 3:		Строка 3:
	'''Сумма множеств A и B''' (на прямой или в плоскости) --- это множество точек <math>\{a+b \| a \in A, b		'''Сумма множеств A и B''' (на прямой или в плоскости) --- это множество точек <math>\{a+b \| a \in A, b
	\in B\}.</math>		\in B\}.</math>

			'''Канторовское множество K_a, 0<a<1. '''

			Возьмем отрезок длины 1 и выкинем из него подинтервал длины a, расположенный по центру. Останутся два отрезка длины (1-a)/2. Из каждого выкинем a-тую часть, то есть интервал длины a(1-a)/2, расположенный по центру. Продолжаем процесс. Множество, которое останется, называется канторовским множеством K_a. В частности, K_{1/3} --- это обычное канторовское множество.

	'''Подкова Смейла'''		'''Подкова Смейла'''
Строка 9:		Строка 13:
	и <math> D_1 = \{0<x<1, 0.6<y<0.8\} </math>. Пусть отображение <math>T</math> на первом из них задано формулой <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-1)</math>, а на втором -- <math>(x,y) \mapsto ((x+3)/5, 5y-3)</math>. На рисунке (слева вверху страницы) изображены прямоугольники <math>D_0, D_1</math> и их образы.		и <math> D_1 = \{0<x<1, 0.6<y<0.8\} </math>. Пусть отображение <math>T</math> на первом из них задано формулой <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-1)</math>, а на втором -- <math>(x,y) \mapsto ((x+3)/5, 5y-3)</math>. На рисунке (слева вверху страницы) изображены прямоугольники <math>D_0, D_1</math> и их образы.
	Отображение <math>T</math> называется '''подковой Смейла'''. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.		Отображение <math>T</math> называется '''подковой Смейла'''. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.



	== Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" (ЧЕРНОВИК) ==		== Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" (ЧЕРНОВИК) ==
Строка 15:		Строка 21:
	одна из вершин в нуле. Найдите их сумму.		одна из вершин в нуле. Найдите их сумму.

	2. ~~Опишите алгоритм~~, ~~который разлагал бы число в цепную дробь~~. ~~Оцените рост погрешности~~.		2. а) Докажите, что для достаточно малых a и b сумма K_a + K_b содержит интервал.

			б) Докажите, что для a и b, достаточно близких к 1, сумма K_a + K_b не содержит интервала.

	3. Запишем координаты (x,y) в пятеричной системе счисления. Докажите, что отображение <math>T</math> действует так:		3. Запишем координаты (x,y) точки подковы в пятеричной системе счисления. Докажите, что отображение <math>T</math> действует так:
	<math>		<math>
	(0.a_1a_2a_3\dots ; 0.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0.b_1a_1a_2a_3\dots; 0.b_2b_3\dots),		(0.a_1a_2a_3\dots ; 0.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0.b_1a_1a_2a_3\dots; 0.b_2b_3\dots),
Строка 23:		Строка 31:

	то есть перекидывает первую цифру в записи y на первое место в записи x.		то есть перекидывает первую цифру в записи y на первое место в записи x.

	~~4. а) Под действием T точка ни разу не посетила верхнюю половину <math>D_0</math>. Что можно сказать о~~
	~~пятеричной записи её координат?~~

	~~б) (''устойчивое слоение'') Пусть под действием <math>T</math> точки p и q сближаются: <math>dist (T^n(p), T^n(q)) \to 0</math>.~~

	~~Что можно сказать о пятеричной записи их координат?~~

Nataliya Goncharuk в 19:52, 4 октября 2014

2014-10-04T19:52:40Z

← Предыдущая версия		Версия от 12:52, 4 октября 2014
Строка 17:		Строка 17:
	2. Опишите алгоритм, который разлагал бы число в цепную дробь. Оцените рост погрешности.		2. Опишите алгоритм, который разлагал бы число в цепную дробь. Оцените рост погрешности.

	3. Запишем координаты (x,y) в ~~пятиричной~~ системе счисления. Докажите, что отображение <math>T</math> действует так:		3. Запишем координаты (x,y) в пятеричной системе счисления. Докажите, что отображение <math>T</math> действует так:
	<math>		<math>
	(0.a_1a_2a_3\dots ; 0.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0.b_1a_1a_2a_3\dots; 0.b_2b_3\dots),		(0.a_1a_2a_3\dots ; 0.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0.b_1a_1a_2a_3\dots; 0.b_2b_3\dots),
Строка 25:		Строка 25:

	4. а) Под действием T точка ни разу не посетила верхнюю половину <math>D_0</math>. Что можно сказать о		4. а) Под действием T точка ни разу не посетила верхнюю половину <math>D_0</math>. Что можно сказать о
	~~пятиричной~~ записи её координат?		пятеричной записи её координат?

	б) (''устойчивое слоение'') Пусть под действием <math>T</math> точки p и q сближаются: <math>dist (T^n(p), T^n(q)) \to 0</math>.		б) (''устойчивое слоение'') Пусть под действием <math>T</math> точки p и q сближаются: <math>dist (T^n(p), T^n(q)) \to 0</math>.

	Что можно сказать о ~~пятиричной~~ записи их координат?		Что можно сказать о пятеричной записи их координат?

Nataliya Goncharuk: /* Определения к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" */ очепатка

2014-09-28T07:42:44Z

Определения к лекции 3 "Суммы канторовских множеств": очепатка

← Предыдущая версия		Версия от 00:42, 28 сентября 2014
Строка 7:		Строка 7:

	Рассмотрим два прямоугольника <math>D_0 = \{0<x<1, 0.2<y<0.4\} </math>		Рассмотрим два прямоугольника <math>D_0 = \{0<x<1, 0.2<y<0.4\} </math>
	и <math> D_1 = \{0<x<1, 0.6<y<0.8\} </math>. Пусть отображение <math>T</math> на первом из них задано формулой <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-1)</math>, а на втором -- <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-3)</math>. На рисунке (слева вверху страницы) изображены прямоугольники <math>D_0, D_1</math> и их образы.		и <math> D_1 = \{0<x<1, 0.6<y<0.8\} </math>. Пусть отображение <math>T</math> на первом из них задано формулой <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-1)</math>, а на втором -- <math>(x,y) \mapsto ((x+3)/5, 5y-3)</math>. На рисунке (слева вверху страницы) изображены прямоугольники <math>D_0, D_1</math> и их образы.
	Отображение <math>T</math> называется '''подковой Смейла'''. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.		Отображение <math>T</math> называется '''подковой Смейла'''. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.

Nataliya Goncharuk: выделила определения отдельно

2014-09-28T07:41:28Z

выделила определения отдельно

← Предыдущая версия		Версия от 00:41, 28 сентября 2014
Строка 1:		Строка 1:
	== ~~Задачи~~ к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" ~~(ЧЕРНОВИК)~~ ==		== Определения к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" ==

	'''Сумма множеств A и B''' (на прямой или в плоскости) --- это множество точек <math>\{a+b \| a \in A, b		'''Сумма множеств A и B''' (на прямой или в плоскости) --- это множество точек <math>\{a+b \| a \in A, b
	\in B\}.</math>		\in B\}.</math>

	~~1. Есть круг радиуса 1 с центром в нуле, и есть правильный треугольник со стороной 1, у которого~~
	~~одна из вершин в нуле. Найдите их сумму.~~

	~~2. Опишите алгоритм, который разлагал бы число в цепную дробь. Оцените рост погрешности.~~

	'''Подкова Смейла'''		'''Подкова Смейла'''
Строка 14:		Строка 9:
	и <math> D_1 = \{0<x<1, 0.6<y<0.8\} </math>. Пусть отображение <math>T</math> на первом из них задано формулой <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-1)</math>, а на втором -- <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-3)</math>. На рисунке (слева вверху страницы) изображены прямоугольники <math>D_0, D_1</math> и их образы.		и <math> D_1 = \{0<x<1, 0.6<y<0.8\} </math>. Пусть отображение <math>T</math> на первом из них задано формулой <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-1)</math>, а на втором -- <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-3)</math>. На рисунке (слева вверху страницы) изображены прямоугольники <math>D_0, D_1</math> и их образы.
	Отображение <math>T</math> называется '''подковой Смейла'''. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.		Отображение <math>T</math> называется '''подковой Смейла'''. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.

			== Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" (ЧЕРНОВИК) ==

			1. Есть круг радиуса 1 с центром в нуле, и есть правильный треугольник со стороной 1, у которого
			одна из вершин в нуле. Найдите их сумму.

			2. Опишите алгоритм, который разлагал бы число в цепную дробь. Оцените рост погрешности.

	3. Запишем координаты (x,y) в пятиричной системе счисления. Докажите, что отображение <math>T</math> действует так:		3. Запишем координаты (x,y) в пятиричной системе счисления. Докажите, что отображение <math>T</math> действует так:

Nataliya Goncharuk: /* Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" (ЧЕРНОВИК) */

2014-09-28T07:39:52Z

Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" (ЧЕРНОВИК)

← Предыдущая версия		Версия от 00:39, 28 сентября 2014
Строка 15:		Строка 15:
	Отображение <math>T</math> называется '''подковой Смейла'''. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.		Отображение <math>T</math> называется '''подковой Смейла'''. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.

	3. Запишем координаты (x,y) в пятиричной системе счисления. Докажите, что отображение <math>T</math> действует		3. Запишем координаты (x,y) в пятиричной системе счисления. Докажите, что отображение <math>T</math> действует так:
	так:
	<math>		<math>
	(0.a_1a_2a_3\dots ; 0,.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0,b_1a_1a_2a_3\dots; 0,b_2b_3\dots),		(0.a_1a_2a_3\dots ; 0.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0.b_1a_1a_2a_3\dots; 0.b_2b_3\dots),
	</math>		</math>

Строка 26:		Строка 25:
	пятиричной записи её координат?		пятиричной записи её координат?

	б) (''устойчивое слоение'') Пусть под действием <math>T</math> точки p и q сближаются: <math>dist (T^n(p), T^n(q)) ->0</math>.		б) (''устойчивое слоение'') Пусть под действием <math>T</math> точки p и q сближаются: <math>dist (T^n(p), T^n(q)) \to 0</math>.

	Что можно сказать о пятиричной записи их координат?		Что можно сказать о пятиричной записи их координат?

Nataliya Goncharuk: создала страницу в правильном месте

2014-09-28T07:30:59Z

создала страницу в правильном месте

Новая страница

== Задачи к лекции 3 "Суммы канторовских множеств" (ЧЕРНОВИК) ==

'''Сумма множеств A и B''' (на прямой или в плоскости) --- это множество точек <math>\{a+b | a \in A, b
\in B\}.</math>

1. Есть круг радиуса 1 с центром в нуле, и есть правильный треугольник со стороной 1, у которого
одна из вершин в нуле. Найдите их сумму.

2. Опишите алгоритм, который разлагал бы число в цепную дробь. Оцените рост погрешности.

'''Подкова Смейла'''

Рассмотрим два прямоугольника <math>D_0 = \{0<x<1, 0.2<y<0.4\} </math>
и <math> D_1 = \{0<x<1, 0.6<y<0.8\} </math>. Пусть отображение <math>T</math> на первом из них задано формулой <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-1)</math>, а на втором -- <math>(x,y) \mapsto ((x+1)/5, 5y-3)</math>. На рисунке (слева вверху страницы) изображены прямоугольники <math>D_0, D_1</math> и их образы.
Отображение <math>T</math> называется '''подковой Смейла'''. Его итерации определены только на некотором множестве типа канторовского.

3. Запишем координаты (x,y) в пятиричной системе счисления. Докажите, что отображение <math>T</math> действует
так:
<math>
(0.a_1a_2a_3\dots ; 0,.b_1b_2b_3\dots) \mapsto (0,b_1a_1a_2a_3\dots; 0,b_2b_3\dots),
</math>

то есть перекидывает первую цифру в записи y на первое место в записи x.

4. а) Под действием T точка ни разу не посетила верхнюю половину <math>D_0</math>. Что можно сказать о
пятиричной записи её координат?

б) (''устойчивое слоение'') Пусть под действием <math>T</math> точки p и q сближаются: <math>dist (T^n(p), T^n(q)) ->0</math>.

Что можно сказать о пятиричной записи их координат?