Кошмар Фубини - История изменений

Ilya Schurov в 00:55, 25 октября 2012

2012-10-25T00:55:20Z

← Предыдущая версия		Версия от 17:55, 24 октября 2012
Строка 17:		Строка 17:
	F_p(a_1,a_2,\dots) = \sum_{n: a_n=1} a_n (1-p) l_{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} a_n p^{\# \{j\le n-1: \, a_j=1\}} (1-p)^{1+\,\# \{j\le n-1: \, a_j=0\}}.		F_p(a_1,a_2,\dots) = \sum_{n: a_n=1} a_n (1-p) l_{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} a_n p^{\# \{j\le n-1: \, a_j=1\}} (1-p)^{1+\,\# \{j\le n-1: \, a_j=0\}}.
	</math>		</math>
	[[File:Fubini Nightmare foliation Katok example.~~png~~\|200px\|thumb\|right\|Слоение Катка]]		[[File:Fubini Nightmare foliation Katok example.svg\|200px\|thumb\|right\|Слоение Катка]]
	Для фиксированной последовательности <math>a \in \{0,1\}^{\N}</math> отображение <math>p\mapsto F_p(a)</math> аналитично. (Проще всего это следует из [[теорема Вейерштрасса\|теоремы Вейерштрасса]] и того факта, что задающий его ряд сходится равномерно на компактах внутри пересечения кругов <math> \{\|p\| <1 \} \cap \{\|1-p\| <1 \} \subset \mathbb{C} </math>.)		Для фиксированной последовательности <math>a \in \{0,1\}^{\N}</math> отображение <math>p\mapsto F_p(a)</math> аналитично. (Проще всего это следует из [[теорема Вейерштрасса\|теоремы Вейерштрасса]] и того факта, что задающий его ряд сходится равномерно на компактах внутри пересечения кругов <math> \{\|p\| <1 \} \cap \{\|1-p\| <1 \} \subset \mathbb{C} </math>.)

Ilya Schurov: 3 версии

2012-10-24T23:02:28Z

3 версии

← Предыдущая версия	Версия от 16:02, 24 октября 2012
(нет различий)

Victor Kleptsyn: picture

2012-07-21T09:32:19Z

picture

← Предыдущая версия		Версия от 02:32, 21 июля 2012
Строка 17:		Строка 17:
	F_p(a_1,a_2,\dots) = \sum_{n: a_n=1} a_n (1-p) l_{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} a_n p^{\# \{j\le n-1: \, a_j=1\}} (1-p)^{1+\,\# \{j\le n-1: \, a_j=0\}}.		F_p(a_1,a_2,\dots) = \sum_{n: a_n=1} a_n (1-p) l_{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} a_n p^{\# \{j\le n-1: \, a_j=1\}} (1-p)^{1+\,\# \{j\le n-1: \, a_j=0\}}.
	</math>		</math>
	[[File:Fubini Nightmare foliation Katok example.~~svg~~\|200px\|thumb\|right\|Слоение Катка]]		[[File:Fubini Nightmare foliation Katok example.png\|200px\|thumb\|right\|Слоение Катка]]
	Для фиксированной последовательности <math>a \in \{0,1\}^{\N}</math> отображение <math>p\mapsto F_p(a)</math> аналитично. (Проще всего это следует из [[теорема Вейерштрасса\|теоремы Вейерштрасса]] и того факта, что задающий его ряд сходится равномерно на компактах внутри пересечения кругов <math> \{\|p\| <1 \} \cap \{\|1-p\| <1 \} \subset \mathbb{C} </math>.)		Для фиксированной последовательности <math>a \in \{0,1\}^{\N}</math> отображение <math>p\mapsto F_p(a)</math> аналитично. (Проще всего это следует из [[теорема Вейерштрасса\|теоремы Вейерштрасса]] и того факта, что задающий его ряд сходится равномерно на компактах внутри пересечения кругов <math> \{\|p\| <1 \} \cap \{\|1-p\| <1 \} \subset \mathbb{C} </math>.)

Victor Kleptsyn в 10:55, 14 июля 2012

2012-07-14T10:55:32Z

← Предыдущая версия		Версия от 03:55, 14 июля 2012
Строка 1:		Строка 1:
	'''Кошмар Фубини''' (~~{{lang-en\|~~Fubini Nightmare}}) — название эффекта кажущегося нарушения [[теорема Фубини\|теоремы Фубини]] в не-абсолютно непрерывных [[слоение\|слоениях]] с гладкими слоями. Он состоит в том, что множество в расслоенном пространстве, пересекающее все слои по множеству меры ноль (или даже вообще по отдельным точкам), может, тем не менее, иметь положительную (и даже полную!) меру в объемлющем пространстве. Такой эффект, на самом деле, теореме Фубини не противоречит, поскольку выпрямляющее отображение слоения не является [[абсолютная непрерывность\|абсолютно непрерывным]].		'''Кошмар Фубини''' (англ. ''Fubini Nightmare'') — название эффекта кажущегося нарушения [[теорема Фубини\|теоремы Фубини]] в не-абсолютно непрерывных [[слоение\|слоениях]] с гладкими слоями. Он состоит в том, что множество в расслоенном пространстве, пересекающее все слои по множеству меры ноль (или даже вообще по отдельным точкам), может, тем не менее, иметь положительную (и даже полную!) меру в объемлющем пространстве. Такой эффект, на самом деле, теореме Фубини не противоречит, поскольку выпрямляющее отображение слоения не является [[абсолютная непрерывность\|абсолютно непрерывным]].

	Существование «кошмара Фубини» затрудняет проведение доказательств для [[частично-гиперболические динамические системы\|частично-гиперболических динамических систем]] «послойно» по слоям центрального слоения: это слоение обычно лишь [[Показатель Гёльдера\|гёльдерово]], но не абсолютно непрерывно.		Существование «кошмара Фубини» затрудняет проведение доказательств для [[частично-гиперболические динамические системы\|частично-гиперболических динамических систем]] «послойно» по слоям центрального слоения: это слоение обычно лишь [[Показатель Гёльдера\|гёльдерово]], но не абсолютно непрерывно.

Victor Kleptsyn: перенёс

2012-07-14T10:54:39Z

перенёс

Новая страница

'''Кошмар Фубини''' ({{lang-en|Fubini Nightmare}}) — название эффекта кажущегося нарушения [[теорема Фубини|теоремы Фубини]] в не-абсолютно непрерывных [[слоение|слоениях]] с гладкими слоями. Он состоит в том, что множество в расслоенном пространстве, пересекающее все слои по множеству меры ноль (или даже вообще по отдельным точкам), может, тем не менее, иметь положительную (и даже полную!) меру в объемлющем пространстве. Такой эффект, на самом деле, теореме Фубини не противоречит, поскольку выпрямляющее отображение слоения не является [[абсолютная непрерывность|абсолютно непрерывным]].

Существование «кошмара Фубини» затрудняет проведение доказательств для [[частично-гиперболические динамические системы|частично-гиперболических динамических систем]] «послойно» по слоям центрального слоения: это слоение обычно лишь [[Показатель Гёльдера|гёльдерово]], но не абсолютно непрерывно.

Иллюстративная версия кошмара Фубини была придумана [[Каток, Анатолий|А. Катком]] и опубликована [[Милнор, Джон|Дж. Милнором]] в работе «Fubini foiled: Katok’s paradoxical example in measure theory», а в 2000 году динамическая реализация такого примера была построена для случая [[центральное слоение|центрального слоения]] в работе [[Вилкинсон, Эмили|Э. Вилкинсон]] и [[Шуб, Майкл|М. Шуба]] «Pathological foliations and removable zero exponents».

== Конструкция Катка ==

=== Слоение ===
Для любого p, 0<p<1, можно рассмотреть кодирование точек отрезка [0,1] последовательностями нулей и единиц, с делением очередного отрезка в отношении <math>(1-p):p</math>. (Как и при обычном кодировании, при этом будет иметь место отождествление 0 с хвостом из единиц и 1 с хвостом из нулей.)

Точка, кодирующаяся данной последовательностью <math>(a_1, a_2, ...) \in \{0,1\}^{\N}, </math>, может быть несложно задана явно: отрезок, полученный после первых n делений, имеет длину
<math>
l_n= p^{\# \{j\le n: a_j=1\}} (1-p)^{\# \{j\le n: a_j=0\}},
</math>
поэтому соответствующая точка равна <math>
F_p(a_1,a_2,\dots) = \sum_{n: a_n=1} a_n (1-p) l_{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} a_n p^{\# \{j\le n-1: \, a_j=1\}} (1-p)^{1+\,\# \{j\le n-1: \, a_j=0\}}.
</math>
[[File:Fubini Nightmare foliation Katok example.svg|200px|thumb|right|Слоение Катка]]
Для фиксированной последовательности <math>a \in \{0,1\}^{\N}</math> отображение <math>p\mapsto F_p(a)</math> аналитично. (Проще всего это следует из [[теорема Вейерштрасса|теоремы Вейерштрасса]] и того факта, что задающий его ряд сходится равномерно на компактах внутри пересечения кругов <math> \{|p| <1 \} \cap \{|1-p| <1 \} \subset \mathbb{C} </math>.)

Поэтому разбиение квадрата <math>(0,1)\times [0,1]</math> на графики по переменной p отображений <math>F_p(a)</math> — кривые <math>\gamma_a = \{ (p, F_p(a)) \mid p\in (0,1) \}</math>, с параметром a, пробегающим <math>\{0,1\}^{\N}</math>, — слоение на аналитические кривые.

=== Множество ===
При любом фиксированном p, цифры <math>a_1=\xi_1(x;p), a_2=\xi_2(x;p)</math>, … кодирования случайной (выбираемой в соответствии с мерой Лебега) точки <math>x\in [0,1]</math> — ''независимые'' бернуллевские случайные величины, принимающие значение 1 с вероятностью p и 0 с вероятностью 1-p.

В силу [[закон больших чисел|закона больших чисел]], при любом p для почти всех x выполнено
: <math>
\frac{1}{n} \sum_{j=1}^n a_j(x;p) \to p, \quad n\to\infty.
</math>
Из теоремы Фубини тогда вытекает, что множество
: <math>
M:= \left\{ (p,x) \mid \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n a_j(x;p) \xrightarrow[n\to\infty]{} p. \right\}
</math>
имеет полную меру Лебега в квадрате <math>(0,1)\times [0,1]</math>.

Однако для любой фиксированной последовательности <math>(a_i)</math> предел её чезаровских средних, если он существует, единственен. Поэтому любая кривая <math>\gamma_a</math> либо вообще не пересекает множество M (если предела нет), либо пересекает в единственной точке (p,F_p(a)), где
: <math>
p=\lim_{n\to\infty} \frac{a_1+\dots+ a_n}{n}.
</math>
Таким образом, для построенных слоения и множества M имеет место «кошмар Фубини».

== Конструкция Вилкинсон—Шуба ==
Вилкинсон и Шуб рассматривали диффеоморфизмы, являющиеся малыми возмущениями диффеоморфизма <math>A\times id</math> трёхмерного тора <math>T^3=T^2\times S^1</math>, где <math>A=\left(\begin{smallmatrix} 2& 1 \\ 1 &1\end{smallmatrix}\right):T^2\to T^2</math> — [[диффеоморфизм Аносова]]. Это отображение, а, значит, и близкие к нему частично гиперболичны. Более того, центральные слои возмущённых отображений будут являться гладкими окружностями, близкими к исходным.

Возмущение Вилкинсон-Шуба, которое берётся в классе сохраняющих меру Лебега отображений, делало диффеоморфизм [[эргодичность|эргодичным]], но при этом центральный [[показатель Ляпунова]] становился ненулевым. С точностью до обращения, его можно считать положительным. Тогда множество точек, центральный показатель Ляпунова для которых положителен, имеет в <math>T^3</math> полную меру Лебега.

С другой стороны, центральные слои-окружности имеют ограниченную сверху длину, поэтому на каждой из них множество точек, в которых происходит растяжение в центральном направлении, обязано иметь меру ноль. Более тонкие рассуждения показывают, что, более того, это множество обязано состоять из конечного числа точек, то есть имеет место «кошмар Фубини».

== Литература ==
* J. Milnor, Fubini foiled: Katok’s paradoxical example in measure theory. ''Math. Intelligencer'' '''19''' (1997), no. 2, 30—32.
* M. Shub, A. Wilkinson, Pathological foliations and removable zero exponents, ''Invent. math.'' '''139''' (2000), 495—508.

[[Category:Энциклопедия]]