Диффеоморфизм Аносова - История изменений

Ilya Schurov: 3 версии

2012-10-24T23:01:31Z

3 версии

← Предыдущая версия	Версия от 15:01, 24 октября 2012
(нет различий)

Victor Kleptsyn: w:

2012-07-23T21:56:32Z

← Предыдущая версия		Версия от 13:56, 23 июля 2012
Строка 1:		Строка 1:
	'''Диффеоморфизмы Аносова''' -- введённый [[Аносов, Дмитрий Викторович\|Д.В. Аносовым]] класс отображений с хаотической динамикой, динамика которых устойчива относительно малых возмущений.		'''Диффеоморфизмы Аносова''' -- введённый [[w:Аносов, Дмитрий Викторович\|Д. В. Аносовым]] класс отображений с хаотической динамикой, динамика которых устойчива относительно малых возмущений.

	==Определение==		==Определение==

Victor Kleptsyn: /* Свойства */

2012-07-13T13:00:42Z

Свойства

← Предыдущая версия		Версия от 05:00, 13 июля 2012
Строка 13:		Строка 13:

	==Свойства==		==Свойства==
	* Диффеоморфизмы Аносова [[структурная устойчивость\|структурно устойчивы]]: для любого аносовского диффеоморфизма f существует его окрестность в пространстве C<sup>1</sup>-диффеоморфизмов, любой диффеоморфизм g из которой [[сопряженность ~~отображений~~\|сопряжен]] f некоторым гомеоморфизмом h:		* Диффеоморфизмы Аносова [[структурная устойчивость\|структурно устойчивы]]: для любого аносовского диффеоморфизма f существует его окрестность в пространстве C<sup>1</sup>-диффеоморфизмов, любой диффеоморфизм g из которой [[топологическая сопряженность\|сопряжен]] f некоторым гомеоморфизмом h:

	:<math>		:<math>

Victor Kleptsyn: перенёс

2012-07-13T12:59:18Z

перенёс

Новая страница

'''Диффеоморфизмы Аносова''' -- введённый [[Аносов, Дмитрий Викторович|Д.В. Аносовым]] класс отображений с хаотической динамикой, динамика которых устойчива относительно малых возмущений.

==Определение==
Диффеоморфизм <math>f:M\rightarrow M</math> -- диффеоморфизм Аносова, если он [[гиперболическое отображение|гиперболичен]] на всём многообразии M. А именно: существует разложение касательного расслоения TM в прямую сумму двух непрерывных подрасслоений, Eu и Es, инвариантных относительно динамики, причём на Eu динамика экспоненциально растягивает, а на Es экспоненциально сжимает:

:<math>
\|f^n(v)\| \le c_1\,\lambda^n \|v\| \quad \forall n\in\mathbb{N}, \, v\in E^s,
</math>
:<math>
\|f^n(v)\| \ge c_2\,\mu^n \|v\| \quad \forall n\in\mathbb{N}, \, v\in E^u,
</math>
где <math>c_1,c_2>0</math> и <math>\mu>1>\lambda>0</math> -- константы.

==Свойства==
* Диффеоморфизмы Аносова [[структурная устойчивость|структурно устойчивы]]: для любого аносовского диффеоморфизма f существует его окрестность в пространстве C1-диффеоморфизмов, любой диффеоморфизм g из которой [[сопряженность отображений|сопряжен]] f некоторым гомеоморфизмом h:

:<math>
f\circ h = h\circ g.
</math>
:Иными словами, динамика малого возмущения f отличается от самого f только заменой (правда, лишь непрерывной!) координат.

* Часть определения, относящаяся к растяжению, может быть переписана как сжатие в обратном времени:
:<math>
\|f^{-n}(v)\| \le c_3\, \mu^{-n} \|v\| \quad \forall n\in\mathbb{N}, \, v\in E^u.
</math>

==Примеры==
Наиболее известным примером диффеоморфизма Аносова является действие отображения <math>\left(\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right)</math> на двумерном торе <math>\mathbb{T}^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2</math>.

Более общо, если матрица <math>A\in SL_n(\mathbb{Z})</math> не имеет собственных значений, равных по модулю единице, то спуск
действия A на тор <math>\mathbb{T}^n=\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n</math> (корректно определённый, поскольку A сохраняет <math>\mathbb{Z}^n</math>) будет диффеоморфизмом Аносова.

==Литература==
* А. Каток, Б. Хассельблатт, Введение в теорию динамических систем.

[[Category:Энциклопедия]]