Бифуркация Андронова — Хопфа - История изменений

Ilya Schurov: 3 версии

2012-10-24T23:02:17Z

3 версии

← Предыдущая версия	Версия от 16:02, 24 октября 2012
(нет различий)

Victor Kleptsyn: тире

2012-07-13T09:29:14Z

тире

← Предыдущая версия		Версия от 02:29, 13 июля 2012
Строка 1:		Строка 1:
	'''Бифуркация Андронова-Хопфа''' -- локальная бифуркация векторного поля на плоскости, в ходе которой особая точка-фокус теряет устойчивость при переходе пары её комплексно-сопряжённых собственных значений через мнимую ось. При этом либо из особой точки рождается небольшой устойчивый [[предельный цикл]] ('''мягкая потеря устойчивости'''), либо, наоборот, небольшой неустойчивый предельный цикл в момент бифуркации схлопывается в эту точку, и её [[бассейн отталкивания]] после бифуркации имеет отделённый от нуля размер ('''жёсткая потеря устойчивости''').		'''Бифуркация Андронова-Хопфа''' — локальная бифуркация векторного поля на плоскости, в ходе которой особая точка-фокус теряет устойчивость при переходе пары её комплексно-сопряжённых собственных значений через мнимую ось. При этом либо из особой точки рождается небольшой устойчивый [[предельный цикл]] ('''мягкая потеря устойчивости'''), либо, наоборот, небольшой неустойчивый предельный цикл в момент бифуркации схлопывается в эту точку, и её [[бассейн отталкивания]] после бифуркации имеет отделённый от нуля размер ('''жёсткая потеря устойчивости''').

	Для того, чтобы эта бифуркация имела место, достаточно в дополнение к переходу собственных значений через мнимую ось наложить на систему некоторые условия типичности.		Для того, чтобы эта бифуркация имела место, достаточно в дополнение к переходу собственных значений через мнимую ось наложить на систему некоторые условия типичности.

	Бифуркация Андронова-Хопфа и [[седлоузловая бифуркация]] -- единственные ''локальные'' бифуркации векторных полей на плоскости, возникающие в ''типичных'' однопараметрических семействах.		Бифуркация Андронова-Хопфа и [[седлоузловая бифуркация]] — единственные ''локальные'' бифуркации векторных полей на плоскости, возникающие в ''типичных'' однопараметрических семействах.

	==Мягкая и жёсткая потери устойчивости==		==Мягкая и жёсткая потери устойчивости==

Victor Kleptsyn: /* Литература */ + доп. главы

2012-07-13T09:17:03Z

Литература: + доп. главы

← Предыдущая версия		Версия от 02:17, 13 июля 2012
Строка 10:		Строка 10:
	==Литература==		==Литература==
	* В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников, [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=intf&paperid=40&option_lang=rus Теория бифуркаций], Динамические системы–5, Итоги науки и техн., Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, '''5''', ВИНИТИ, М., 1986, 5–218		* В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников, [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=intf&paperid=40&option_lang=rus Теория бифуркаций], Динамические системы–5, Итоги науки и техн., Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, '''5''', ВИНИТИ, М., 1986, 5–218
			* В. И. Арнольд, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М.: Наука, 1978.

	[[Category:Энциклопедия]]		[[Category:Энциклопедия]]

Victor Kleptsyn: перенёс

2012-07-13T09:14:10Z

перенёс

Новая страница

'''Бифуркация Андронова-Хопфа''' -- локальная бифуркация векторного поля на плоскости, в ходе которой особая точка-фокус теряет устойчивость при переходе пары её комплексно-сопряжённых собственных значений через мнимую ось. При этом либо из особой точки рождается небольшой устойчивый [[предельный цикл]] ('''мягкая потеря устойчивости'''), либо, наоборот, небольшой неустойчивый предельный цикл в момент бифуркации схлопывается в эту точку, и её [[бассейн отталкивания]] после бифуркации имеет отделённый от нуля размер ('''жёсткая потеря устойчивости''').

Для того, чтобы эта бифуркация имела место, достаточно в дополнение к переходу собственных значений через мнимую ось наложить на систему некоторые условия типичности.

Бифуркация Андронова-Хопфа и [[седлоузловая бифуркация]] -- единственные ''локальные'' бифуркации векторных полей на плоскости, возникающие в ''типичных'' однопараметрических семействах.

==Мягкая и жёсткая потери устойчивости==
Термины «мягкая» и «жёсткая» связаны с описанием поведения системы с точки зрения «внешнего» наблюдателя, при медленной (в сравнении с динамикой системы) эволюции параметра системы и зашумлении системы малыми случайными возмущениями. В случае мягкой потери устойчивости решение перейдёт из положения равновесия (ставшего неустойчивым) в предельный цикл — наблюдатель будет видеть периодическое «дрожание» состояния системы недалеко от положения равновесия, которое будет усиливаться с ростом параметра. Однако, в масштабе времени «движения параметра», «отклонения» решения нарастают непрерывно. Напротив того, при жёсткой потере устойчивости решение «резко» срывается и уходит за границу бассейна отталкивания исчезнувшего предельного цикла: с точки зрения наблюдателя, живущего в масштабе времени, в котором изменяется параметр, решение скачком поменяло режим.

==Литература==
* В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников, [http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=intf&paperid=40&option_lang=rus Теория бифуркаций], Динамические системы–5, Итоги науки и техн., Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, '''5''', ВИНИТИ, М., 1986, 5–218

[[Category:Энциклопедия]]